[로또 이야기] 제4화 — 1/8,145,060: 그 숫자는 어떻게 나왔을까
"로또 1등 확률이 얼마인지 아세요?"
이 질문을 받으면 대부분의 사람들은 "엄청 낮다"고 답합니다.
"거의 불가능하다"고도 합니다.
맞는 말입니다.
그런데 막상 그 확률이 정확히 얼마인지, 왜 그런 숫자가 나왔는지를 제대로 아는 사람은 많지 않습니다.
지난 3화에서 예고한 대로, 오늘은 1/8,145,060이라는 숫자 속으로 들어가 보겠습니다.
숫자에 약한 분들도 편안히 읽으실 수 있도록, 복잡한 수식은 딱 한 번만 등장합니다. 나머지는 이야기로 풀겠습니다.
# 45개 공, 6개를 고른다는 것: 조합의 세계
로또 용지를 펼치면 1부터 45까지의 숫자가 줄지어 서 있습니다.
여기서 딱 6개를 고르면 됩니다. 간단해 보이죠.
그런데 여기에 함정이 있습니다.
45개 숫자 중 6개를 선택하는 방법이 도대체 몇 가지나 될까요?
이걸 계산하는 수학 개념을 '조합(Combination)'이라고 합니다.
순서는 상관없이, 어떤 것들을 몇 개 고를 수 있는지를 세는 방법입니다.
감이 잘 안 온다면 이렇게 생각해 보세요.
회사 워크숍에 45명이 참석했습니다.
이 중에서 저녁 설거지 당번 6명을 뽑아야 합니다.
명단을 작성할 때 중요한 건 누가 포함되느냐이지, 이름을 어떤 순서로 적느냐가 아닙니다.
홍길동·김철수·이영희 세 명이 당번이라면, 홍길동을 첫 번째로 쓰든 세 번째로 쓰든 당번 명단은 똑같습니다.
로또도 마찬가지입니다.
내가 고른 번호가 3, 15, 27, 33, 41, 44라면, 이 번호들을 어떤 순서로 골랐든 결과는 같습니다.
중요한 건 '어떤 6개를 골랐느냐'입니다.
그렇다면 45개 숫자 중에서 6개를 고르는 방법은 모두 몇 가지나 될까요?
그 답이 바로 C(45,6) = 8,145,060입니다.
로또 한 게임을 산다는 것은, 8,145,060개의 경우의 수 중 딱 하나를 선택한다는 뜻입니다.
당첨 번호도 그 8,145,060개 중 딱 하나입니다.
당신이 고른 그 하나와 당첨 번호가 일치할 확률 — 그것이 1/8,145,060입니다.
# 보너스 공 하나가 만드는 세계: 2등부터 5등까지
로또가 영리한 이유가 하나 있습니다.
당첨 번호 6개를 뽑은 뒤, 추가로 '보너스 번호' 하나를 더 뽑는다는 것입니다.
이 공 하나가 당첨 구조를 훨씬 풍성하게 만들어 줍니다.
등위별로 살펴보겠습니다.
1등은 6개 번호를 모두 맞히는 것입니다. 확률은 1/8,145,060.
2등은 6개 중 5개를 맞히고, 거기에 보너스 번호까지 맞혀야 합니다.
1등보다는 쉬워 보이지만, 확률은 1/1,357,510입니다. 여전히 백만 분의 일대 확률입니다.
3등은 5개를 맞히되, 보너스 번호는 틀려도 됩니다.
확률은 1/35,724. 숫자가 갑자기 친숙해졌죠? 하지만 여전히 3만 5천 분의 일입니다.
4등은 4개를 맞히면 됩니다. 보너스 번호는 관계없습니다.
확률은 1/733. 이쯤 오면 "오, 꽤 나올 것 같은데?" 싶어지기 시작합니다.
5등은 3개를 맞히면 됩니다.
확률은 1/45. 놀랍지 않나요?
로또를 45번 사면 통계적으로 한 번은 5등이 됩니다.
당첨금은 5,000원 고정입니다.
1,000원짜리 복권을 45장 사서(45,000원) 5,000원을 받는 셈이지만, 어쨌든 '당첨'이라는 단어가 주는 설렘만큼은 공짜로 딸려 옵니다.
# 번개보다 낮은 확률이라는데: 비유로 체감하기
1/8,145,060을 들었을 때 그게 얼마나 작은 숫자인지, 직관적으로 느끼기는 쉽지 않습니다.
몇 가지 비유를 들어볼게요.
평생 동안 번개에 맞을 확률은 대략 1/28만 수준으로 알려져 있습니다.
로또 1등 확률(1/814만)보다 약 29배 높습니다.
즉, 로또 1등에 당첨되는 것보다 번개에 맞는 것이 수십 배 더 '쉽습니다'.
매주 1장씩 빠짐없이 로또를 사면, 통계적으로 1등에 한 번 당첨되기까지 약 16만 년이 걸립니다.
호모 사피엔스가 아프리카에서 처음 등장한 시점이 약 30만 년 전입니다.
그 절반의 시간 동안 매주 사야 한 번 당첨될 수 있다는 뜻입니다.
이쯤 되면 그냥 포기하자는 생각이 드는 게 당연합니다.
그런데 여기서 반전이 있습니다.
# 22년의 기다림: 확률은 기억하지 않는다
미국 오하이오주에 사는 한 남성의 이야기입니다.
그는 22년 동안 매달 단 한 번, 똑같은 번호로 복권을 샀습니다.
6, 8, 16, 20, 26, 45 — 22년 내내 단 한 번도 바꾸지 않았습니다.
22년간 그가 복권에 쓴 총비용은 약 2,640달러(한화 약 350만 원) 수준이었습니다.
그리고 2026년 2월, 그의 번호가 드디어 당첨 번호와 일치했습니다.
당첨금 350만 달러, 세금 공제 후 약 128만 달러(약 17억 원)를 수령했습니다.
결과를 확인하던 그는 아내에게 전화해 이렇게 외쳤다고 전해집니다.
"우리 이제 진짜 큰 수영장 살 수 있겠어!"
그런데 여기서 꼭 짚고 넘어가야 할 사실이 있습니다.
22년 동안 같은 번호를 쓰든, 매번 다른 번호를 쓰든, 확률은 완전히 동일합니다.
로또 추첨기는 지난 회차의 결과를 기억하지 않습니다.
공에는 기억이 없습니다.
매 회차는 완전히 새로운 독립 시행입니다.
"저번에 7번이 많이 나왔으니 이번엔 안 나오겠지"라는 생각은 통계학에서 '도박사의 오류'라고 부르는 착각입니다.
"안 나온 번호가 이번엔 나올 확률이 높겠지"도 마찬가지입니다.
과거는 미래의 확률에 아무런 영향을 주지 않습니다.
2009년 불가리아에서는 '4, 15, 23, 24, 35, 42'라는 동일한 번호가 불과 4일 간격으로 연속 두 회차(불가리아는 주 2회 추첨)에 걸쳐 당첨 번호로 나왔습니다.
조작 의혹으로 경찰까지 수사에 나섰지만, 아무런 이상이 발견되지 않았습니다.
확률상 충분히 발생 가능한 사건이었습니다.
수천만 번의 추첨이 누적되면, '거의 불가능해 보이는 일'도 언젠가는 반드시 일어납니다.
# 1,000원의 기댓값: 로또는 수학적으로 손해인가
이쯤에서 솔직한 질문 하나.
로또는 사는 것이 합리적인 선택일까요?
수학은 냉정합니다.
한국 로또의 총 당첨금 재원은 판매액의 약 50%입니다.
나머지 약 42%는 복권기금으로 적립되어 사회로 환원되고, 약 8%는 운영비·판매수수료로 사용됩니다.
즉, 1,000원짜리 로또 한 장의 '기댓값'은 약 500원입니다.
여기에 1~3등 당첨금에 부과되는 세금(22~33%)까지 감안하면 실질 기댓값은 400원대로 낮아집니다.
1,000원을 내고 평균 400원을 돌려받는 게임.
카지노 슬롯머신의 환수율이 보통 85~95% 수준인 것과 비교하면, 로또의 수학적 효율은 명백히 낮습니다.
물론 대부분의 사람들은 한 장에 5조합을 구매하니, 실질적인 1등 도전 확률은 1/1,629,012입니다. 1/8,145,060에 비하면 분명 반갑긴 하지만, 여전히 쉽게 다가설 수 있는 숫자는 아닙니다.
그렇다면 로또는 나쁜 선택인가요?
수학적으로는 그렇습니다.
하지만 사람은 수학만으로 살지 않습니다.
1,000원으로 살 수 있는 것 중에, 한 주 내내 "혹시 모른다"는 상상을 살 수 있는 것은 로또밖에 없습니다.
퇴근길 버스 안에서 "당첨되면 뭘 할까"를 머릿속으로 그려보는 그 시간, 어쩌면 사람들이 진짜 사는 것은 복권이 아니라 그 상상 자체일지도 모릅니다.
그 상상이 1,000원이라면, 사실 꽤 저렴한 편입니다.
# 숫자 너머의 이야기
1/8,145,060. 이 숫자를 처음 들었을 때보다, 지금은 조금 다르게 느껴지시나요?
번개보다 낮고, 16만 년을 기다려야 하고, 수학적으로는 손해인 게임.
그런데도 매주 1억 2천만 장이 팔립니다.
다음 제5화에서는 시선을 조금 돌려봅니다.
그 8,145,060개의 경우의 수 안에서, 과연 패턴이라는 것이 존재할 수 있을까요?
역대 당첨 번호를 통계적으로 분석하면 자주 나오는 번호, 좀처럼 나오지 않는 번호가 실제로 있는지, 그리고 그 분석이 의미가 있는지 없는지를, 수학과 심리학의 경계에서 함께 들여다보겠습니다.
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